Question

已知f(x)=

2x

4x+1

，x∈（0，1）； 
（1）试判断并证明f（x）的单调性；   
（2）当λ取何值时，方程f（x）+f（-x）=λ有实数解？

Answer 1

（1）设x₁，x₂∈（0，1），x₁＞x₂ ，-------------（1分）
故有 f(

x

1

)-f(

x

2

)=

2x1

4x2+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x2+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x2+1)(4x2+1)

．-------（3分）
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)，
∴f（x）为减函数．---------（5分）
（2）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴f（1）＜f（x）＜f（0），即 

2

5

＜f(x)＜

1

2

．
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=f(x)，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），即当x∈（0，1）时，

4

5

＜λ＜1．-------------（8分）