Question

设

a

=(sin2

π+2x

4

，cosx+sinx)，

b

=（4sin x，cos x-sin x），f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2π

3

]是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过数量积的计算，利用二倍角公式化简函数的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，即可．
（2）结合正弦函数的单调增区间，y=f（ωx）在区间[-

π

2

2π

3

]是增函数，说明(-

π

2

，

2π

3

)⊆(-

π

2ω

，

π

2ω

)．求出ω的取值范围；
（3）简化集合B，利用A⊆B，得到恒成立的关系式，求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=sin²

π+2x

4

•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∴f（x）=2sinx+1．

（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．
由2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

，
得f（ωx）的增区间是(

2kπ

ω

-

π

2ω

，

2kπ

ω

+

π

2ω

)，k∈Z．
∵f（ωx）在(-

π

2

，

2π

3

)上是增函数，
∴(-

π

2

，

2π

3

)⊆(-

π

2ω

，

π

2ω

)．
∴-

π

2

≥-

π

2ω

且

2π

3

≤

π

2ω

，
∴ω∈(0，

3

4

]．

（3）由|f（x）-m|＜2，得-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2．
∵A⊆B，∴当

π

6

≤x≤

2

3

π时，
不等式f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，
∴f（x）_min-2＜m＜f（x）_max+2，
∵f（x）_max=f（

π

2

）=3，f（x）_min=f（

π

6

）=2，
∴m∈（1，4）．

点评：本题是中档题，以向量的数量积为平台，考查三角函数的基本公式的应用，函数的单调性，以及函数的值域的求值范围，恒成立的应用，考查计算能力，转化思想．