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a
=(sin2
π+2x
4
,cosx+sinx),
b
=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间[-
π
2
3
]
上是增函数,求ω的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用向量的数量积,结合二倍角的正弦函数余弦函数以及两角和与差的三角函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,即可得到函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)通过ω>0,求出y=f(ωx)的单调增区间,利用函数在区间[-
π
2
3
]
上是增函数,列出ω的方程组,即可求ω的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
a
b
=sin2
π+2x
4
•4sinx+(cosx+sinx)•(cosx-sinx)

=
1-cos2(
π+2x
4
)
2
•4sinx+cos2x-sin2x

=2[1-cos(
π
2
+x)]•sinx+cos2-sin2x 

=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x
=2sinx+2sin2x+1-2sin2x=2sinx+1
所以f(x)=2sinx+1.
(Ⅱ)f(ωx)=2sinωx+1
根据正弦函数的单调性:2kπ-
π
2
≤ωx≤2kπ+
π
2
(k∈Z)

解得f(x)的单增区间为[-
π
π
]

又由已知f(x)的单增区间为[-
π
2
3
]

所以有[-
π
2
3
]⊆[-
π
π
]

即 
-
π
≤-
π
2
π
3
解得ω≤
3
4

所以ω的取值范围是(0,
4
]
点评:本题考查二倍角的三角函数以及两角和与差的三角函数,正弦函数的单调性的应用,考查计算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

a
=(sin2
π+2x
4
,cosx+sinx)
b
=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=
a
b

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间[-
π
2
3
]
是增函数,求ω的取值范围;
(3)设集合A={x|
π
6
≤x≤
3
}
,B={x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设a>0为常数,已知函数f(x)=cos2(x-
3
)+sin2(x-
6
)+asin
x
2
cos
x
2
的最大值为3,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=logsinθx,θ∈(0,
π
2
)
,设a=f(
sinθ+cosθ
2
)
b=f(
sinθ•cosθ
)
c=f(
sin2θ
sinθ+cosθ
)
,那么a、b、c的大小关系是
a≤b≤c
a≤b≤c

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

a
=(sin2
π+2x
4
,cosx+sinx)
b
=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=
a
b

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知常数ω>0,若y=f(ωx)在区间[-
π
2
3
]
是增函数,求ω的取值范围;
(3)设集合A={x|
π
6
≤x≤
3
}
,B={x||f(x)-m|<2},若A⊆B,求实数m的取值范围.

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