Question

已知f(x)=logsinθx，θ∈(0，

π

2

)，设a=f(

sinθ+cosθ

2

)，b=f(

sinθ•cosθ

)，c=f(

sin2θ

sinθ+cosθ

)，那么a、b、c的大小关系是

a≤b≤c

．

Answer 1

分析：化简a为logsinθ

sinθ+cosθ

2

，b为logsinθ

sinθcosθ

，c为logsinθ

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

，利用基本不等式可得 

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

，用比较法可得

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．再由函数y=log_sinθx是单调减函数可得a、b、c的大小关系．

解答：解：由题意可得a=f(

sinθ+cosθ

2

)=logsinθ

sinθ+cosθ

2

，
b=f(

sinθ•cosθ

)=logsinθ

sinθcosθ

，
c=f(

sin2θ

sinθ+cosθ

)=logsinθ

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．
∵θ∈（ 0，

π

2

），∴1＞sinθ＞0，1＞cosθ＞0，∴

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

，
∴logsinθ

sinθ+cosθ

2

≤logsinθ

sinθcosθ

，即 a≤b．
∵(

sinθcosθ

)2-(

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

)2=sinθcosθ-

4sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ +2sin2θcos2θ-4sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ -2sin2θcos2θ

1+2sinθcosθ

 
=

sinθcosθ(1 -2sinθcosθ)

1+2sinθcosθ

=

sinθcosθ(sinθ-cosθ)2

1+2sinθcosθ

≥0，
∴

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．
综上可得 

sinθ+cosθ

2

≥

sinθcosθ

≥

2sinθ•cosθ

sinθ+cosθ

．再由函数y=log_sinθx是单调减函数可得，
a≤b≤c，
故答案为a≤b≤c．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．