Question

已知定义在R上的两个函数：

f(x)=2x⁴+|x-2|，g(x)=-x²+2ax+-a²(a∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；

(Ⅱ)判断方程f(x)=g(x)是否有实根，并说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=  

设y₁=2x⁴+x-2  (x＞2)，y₂=2x⁴-x+2(x≤2)

则 y₁′=8x³+1，当x＞2时，y₁′＞0成立，

∴y₁在(2，+∞)上单调递增；

y₂′=8x³-1，当x＜时，y₂′＜0，当＜x＜2时，y₂′＞0

所以，y₂在(-∞，)上单调递减，在(，2]上单调递增

因此，函数f(x)在(-∞，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增

∴ [f(x)]_min=f()=

(Ⅱ)g(x)=-(x-a)²+

故不论a取何实数，g(x)≤恒成立

∵＜

∴当x∈R时，不等式f(x)＞g(x)恒成立．

∴方程f(x)=g(x)没有实根