Question

已知△ABC的周长为12，顶点A、B的坐标分别为（-2，0），（2，0），C为动点．
（1）求动点C的轨迹E的方程；
（2）过原点作两条关于y轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：对第（1）问，由△ABC的周长及AB的长，得|CA|+|CB|，由圆锥曲线的定义可判断轨迹的形状，即可得其方程；
对第（2）问，先设出直线方程，并求出直线与椭圆的一个交点，由四边形的形状，写出面积的表达式，即可探求面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意知，|CA|+|CB|=12-|AB|=8＞|AB|，
故动点C在椭圆上，
当C与A，B共线时，A，B，C三点不能围成三角形，故轨迹E不含x轴上的两点，
由于定点A，B在x轴上，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则2a=8，焦距2c=4，从而b²=a²-c²=12，
即得E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1（y≠0）．
（2）设过原点所作的两条关于y轴对称的直线分别为y=kx，y=-kx，k＞0，
由

y=kx x2 16 + y2 12 =1

，得直线与椭圆的一个交点坐标为（

4 3

3+4k2

，

4 3 k

3+4k2

），
根据图形的对称性知，由四点所对应的四边形为矩形，
且其面积S=

8 3

3+4k2

•

8 3 k

3+4k2

=

64×3

3 k +4k

≤

64×3

2 3 k •4k

=16

3

，
当且仅当

3

k

=4k即k=

3

2

时，上式取等于号．
所以所求四边形面积的最大值为16

3

．

点评：本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的相交关系及面积最值问题，关键是写出面积的表达式，从表达式的特征寻求最值，求面积最值的常见方法是利用基本不等式或转化为函数的值域问题进行处理．