Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2013，公比q=-

1

2

，数列{a_n}前n项和记为S_n，前n项积记为T_n．
（1）证明：S₂≤S_n≤S₁；
（2）求n为何值时，T_n取得最大值；
（3）证明：若数列{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d₁，d₂，…，d_n，则数列{d_n}为等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的前n项和公式由首项和公差能推导出S₂≤S_n≤S₁．
（2）由已知条件推导出当n≤10时，|T_n+1|＞|T_n|，当n≥11时，|T_n+1|＜|T_n|．从而得到当n=11时，|T_n|取得最大值，由此求出当n=12时，T_n最大．
（3）由已知条件得|a_n|随n增大而减小，a_n奇数项均正，偶数项均负，分类讨论能证明数列{d_n}为等比数列．

解答： （1）证明：∵Sn=S1+

a2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=S1-

1

3

a1[1-(-

1

2

)n-1]≤S1，
当n=1时，等号成立；
同理Sn=S2+

a3[1-(- 1 2 )n-2]

1-(- 1 2 )

=S2+

1

6

a1[1-(-

1

2

)n-2]≥S2，
当n=2时，等号成立，
∴S₂≤S_n≤S₁．
（2）解：∵

|Tn+1|

|Tn|

=

|a1•a2…an•an+1|

|a1•a2…an|

=|an+1|=

2013

2n

．
又∵

2013

211

＜1＜

2013

210

，
∴当n≤10时，|T_n+1|＞|T_n|，
当n≥11时，|T_n+1|＜|T_n|．
∴当n=11时，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，
∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的较大者，
又∵

T12

T9

=a10•a11•a12=[2013•(-

1

2

)10]3＞1，
∴T₁₂＞T₉．因此当n=12时，T_n最大．
（3）证明：∵an=2013•(-

1

2

)n-1，
∴|a_n|随n增大而减小，a_n奇数项均正，偶数项均负，
①当k是奇数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k+1，a_k+2，a_k，
则ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=

a1

2k

，2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=

a1

2k

，
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k+1，a_k+2，a_k成等差数列，
公差dk=ak+2-ak+1=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k]=

3a1

2k+1

；
②当k是偶数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k，a_k+2，a_k+1，
则ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=-

a1

2k

，
2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=-

a1

2k

．
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列，
公差dk=ak+2-ak=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k-1]=

3a1

2k+1

，
综上可知，{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，
且dk=

3a1

2k+1

，∵

dn-1

dn

=2，
∴数列{d_n}为等比数列．

点评：本题考查不等式的证明，考查数列前n项和最大值的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意等比数列性质的合理运用．