Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点为A₁（-a，0），A₂（a，0），与y轴平行的直线交椭圆于P₁、P₂，求A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P₁（x，y），则P₂（x，-y），由椭圆的参数方程，分别求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含参数θ），联立方程后，消去参数θ即可得到满足条件的曲线方程．

解答： 解：设P₁（x，y），则P₂（x，-y）
P₁，P₂在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，则x=asinθ，y=bcosθ
则A₁P₁的方程为

-a-x

0-y

=

asinθ+a

bcosθ

①
A₂P₂的方程为

a-x

0-y

=

-asinθ+a

bcosθ

②
联立方程①，②得x=acscθ，y=bcotθ
消去θ可得A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程

x2

a2

-

y2

b2

=1．

点评：本题考查的知识点是轨迹方程，椭圆的简单性质，其中根据椭圆的参数方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，进而求出两条直线交点的坐标，是解答本题的关键．