Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体．
（1）求证：BD₁⊥平面ACB₁；
（2）求三棱锥B-ACB₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）连接A₁B，A₁B⊥AB₁，D₁A₁⊥AB₁．由AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，A1B和D₁A₁是面A₁BD₁内的相交直线，所以AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD上，AB₁⊥BD₁，同理，AC⊥BD₁．由此能够证明BD₁⊥面ACB₁．
（2）三棱锥B-ACB₁，也就是ABC为底，BB₁为高的三棱锥．由此能求出三棱锥B-ACB₁体积．

解答： （1）证明：连接A₁B，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面A₁B₁BA是正方形，对角线A₁B⊥AB₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A₁⊥面A₁B₁BA，AB₁在面A₁B₁BA上，
∴D₁A₁⊥AB₁，
∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，
A1B和D₁A₁是面A₁BD₁内的相交直线，
∴AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD₁上，
∴AB₁⊥BD₁，同理，D₁D⊥面ABCD，
AC在面ABCD上，D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，
∵AC⊥D₁D，AC⊥BD，D₁D和BD是面BDD₁内的相交直线，
∴AC⊥面BDD₁，又BD₁在面BDD₁上，
∴AC⊥BD₁，
∵BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
AB₁和AC是面ACB₁内的相交直线
∴BD₁⊥面ACB₁．
（2）解：三棱锥B-ACB₁，也就是ABC为底，BB₁为高的三棱锥，
三棱锥B-ACB₁体积V=

1

2

×AB×AD×

1

3

BB₁=

1

3

×1×（

1

2

×1×1）=

1

6

．   …（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查几何体的体积等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力．