Question

3．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．
（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
代入点（1，2），可得p=2，
∴抛物线的标准方程y²=4x；
（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），
∴直线l：y=k（x-1）．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线l：y=k（x-1）与y²=4x，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则由韦达定理有：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
则弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∵k∈[1，2]，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$∈[1，4]，
∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．