Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，角A，B，C的大小成等差数列，向量 =（sin ，cos ），=（cos ，﹣ cos ），f（A）= ，
（1）若f（A）=﹣ ，试判断三角形ABC的形状；
（2）若b= ，a= ，求边c及S△ABC ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A，B，C成等差数列，可得：2B=A+C，

又∵A+B+C=180°，

∴B=60°．

∵向量 =（sin ，cos ）， =（cos ，﹣ cos ），f（A）= =﹣ ，

∴f（A）= =sin cos ﹣ cos cos = sinA﹣ cosA﹣ =sin（A﹣60°）﹣ =﹣ ，

∴可得：sin（A﹣60°）=0．

∵A∈（0，60°]，可得：A﹣60°∈（﹣60°，0]，

∴可得：A=60°，即A=B=C=60°．

∴三角形ABC的形状为：正三角形

（2）解：∵B=60°，b= ，a= ，

∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=2+c2﹣2× ，整理可得：c2﹣ ﹣1=0，

∴解得：c= ，或 （舍去），

∴S△ABC= acsinB= × =

【解析】（1）利用已知及等差数列的性质，三角形内角和定理可求B=60°，利用数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求sin（A﹣60°）=0，结合A的范围可求A=60°，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握余弦定理:;;．