Question

【题目】已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ．

∴f′（x）= = ，

∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，

当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=± ，则函数f（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．

（2）解：由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．

因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1= ，x2=﹣ ，

且由f（x）的定义域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，

∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，

∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣

=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．

令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，

当0＜a＜ 时，﹣1＜x＜0；当 ＜a＜1时，0＜x＜1．

令g（x）=lnx2+ ﹣2．

（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，

∴当0＜a＜ 时，f（x1）+f（x2）＜0；

（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，

故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，

∴当 ＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；

综上所述，a的取值范围是（ ，1）．

【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（2）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．