Question

【题目】如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为e1；双曲线C2： ﹣ =1的左、右焦点分别为F3 ， F4 ， 离心率为e2 ， 已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

（1）求C1、C2的方程；
（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知， ，且 ．

∵e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．

∴ ，且 ．

解得： ．

∴椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的方程为 ；

（2）解：由（1）可得F1（﹣1，0）．

∵直线AB不垂直于y轴，

∴设AB的方程为x=ny﹣1，

联立 ，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），

则 ， ．

则

= = ．

∵M在直线AB上，

∴ ．

直线PQ的方程为 ，

联立 ，得 ．

解得 ，代入 得 ．

由2﹣n2＞0，得﹣ ＜n＜ ．

∴P，Q的坐标分别为 ，

则P，Q到AB的距离分别为： ， ．

∵P，Q在直线A，B的两端，

∴ ．

则四边形APBQ的面积S= |AB| ．

∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．

【解析】（1）由斜率公式写出e1 ， e2 ， 把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（2）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．