Question

【题目】已知数列的前n项和．

若三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；

探究数列中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：此三项可作为三角形三边的长；此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

数列的前n项和求出，，遂得出三角形三边边长，利用余弦定理求解三角形的面积假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍,然后推出结果．

解：数列的前n项和．

当时，，

当时，，

又时，，所以，

不妨设三边长为，，，

所以

所以

假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，

设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，

由正弦定理：，所以

由余弦定理：，

即

化简得：，所以：或舍去

当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．

所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.