Question

【题目】已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1 ， a2 ， a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），

化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，

当d=0时，an=2，

当d=4时，an=2+（n﹣1）4=4n﹣2．

（2）解：当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，

当an=4n﹣2时，Sn= =2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，

综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，

当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41

【解析】（1）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（2）利用（1）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．
【考点精析】掌握数列的前n项和和等差数列的性质是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．