Question

【题目】已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.

（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；

（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.

求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；

（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）将整理为，可知在上单调递增；可知，从而可将化简为，从而可知，得到结论；（2）取，根据，可得，从而可取得到结论；（3）取一个划分：，可将整理为；根据放缩可知只要足够大，可使得，从而得到结论.

（1）

当时，

在区间上为单调递增函数

当，时，有，

所以

从而对区间的任意划分：

存在，使得成立

综上，函数在上是“绝对差有界函数”

（2）证明：任取

从而对区间的任意划分：

和式成立

则可取

所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”

（3）取区间的一个划分：，

则有：

所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：

满足

所以函数不是的“绝对差有界函数”