Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f(

1

2

)=1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为

 

．

Answer 1

分析：用函数的单调性求解，先证明单调性，设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则有f（x₂）=f（

x2

x1

•x1）=f（

x2

x1

）+f（x₁），f（x₂）-f（x₁））=f（

x2

x1

）＜0，得到f（x）是减函数，然后构造单调性模型，由f(

1

2

)=1求得2=2f(

1

2

)=f（

1

4

），再令x=y=1，求得f（1）=0，最后用定义求解，要注意所在的区间．

解答：解：∵f(

1

2

)=1
∴2=2f(

1

2

)=f（

1

4

）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可转化为：
f（x（5-x））+f（

1

4

）≥0
∴f（

1

4

x（5-x））≥f（1）
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x1）=f（

x2

x1

）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁））=f（

x2

x1

）＜0
∴f（x）是减函数
∴

x＞0 5-x＞0 1 4 x(5-x)≤1

解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案为：（0，1]∪[4，5）

点评：本题主要考查抽象函数所构造不等式的解法，一般来讲，这类不等式的解法利用函数的单调性定义求解，要注意利用主条件等价转化构造函数单调性模型，将函数值关系转化为自变量关系解决．