Question

已知定义在正实数集上的函数f(x)=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．

Answer 1

分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后用a表示b，利用导数的工具求b的最大值，从而问题解决．
（II）先设F（x）=f（x）-g（x），利用导数研究此函数的单调性，欲证f（x）≥g（x）（x＞0），只须证明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．

解答：解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
∵f′（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）

1 2 x02+2ax=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x0+2a=

3a2

x0

得x₀=a，x₀=-3a（舍去）即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna（3分）
令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，则h′（t）=2t（1-3lnt）
当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h'（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h'（t）＜0．
故h（t）在(0，e

1

3

)为增函数，在(e

1

3

，+∞)为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
则F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)（10分）
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）（12分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查化归与转化思想．属于中档题．