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    （2003•东城区二模）已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2-2nan+2，（n∈N），又a5=11．
    （Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项公式（不要求证明）；
    （Ⅱ）设bn=11-an，Sn=b1+b2+…+bn，Sn′=|b1|+|b2|+…+|bn|，求
    lim
    n→∞
    Sn
    Sn′
    的值；
    （Ⅲ）设Cn=
    1
    n(1+an)
    （n∈N），Tn=C1+C2+…+Cn，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞
    m
    32
    ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）根据an+1=an2-2nan+2，（n∈N），a5=11求出a4的值，然后同理求出a3，a2，a1的值；
    （Ⅱ）先根据等差数列求和公式求出Sn，然后判断{bn}哪几项为非负数，再分类讨论，即可求得Sn′的值，然后利用极限的知识求解即可；
    （Ⅲ）求得数列的通项，利用裂项法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到结论．
    解答：解：（Ⅰ）由a5=11，得11=a42-8a4+2即a42-8a4-9=0．
    解得  a4=9或a4=-1（舍）．（1分）
    由a4=9，a32-6a3-7=0解得a3=7或a3=-1（舍）（2分）
    同理可求出  a2=5，a1=3．（4分）
    由此推测an的一个通项公式：an=2n+1（n∈N）．（5分）
    （Ⅱ）bn=11-an=10-2n（n∈N）．可知数列{bn}是等差数列Sn=
    n(b1+bn)
    2
    =
    n(8+10-2n)
    2
    =-n2+9n    （6分）
    当n≤5时，Sn′=Sn=-n2+9n．
    当n＞5时，Sn′=-Sn+2S5=-Sn+40．=n2-9n+40．（7分）
    当n≤5时，
    Sn
    Sn′
    =1，当n＞5时，
    S 
    Sn′
    =
    -n2+9n
    n2-9n+40
    ．
    ∴
    lim
    n→∞
    Sn
    Sn′
    =
    lim
    n→∞
    -n2+9n
    n2-9n+40
    =-1    ．（10分）
    （Ⅲ）Cn=
    1
    n(1+an)
    =
    1
    n(2n+2)
    =
    1
    2
    (
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )    （11分）
    Tn=C1+C2+…+Cn=
    1
    2
    [(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+…+(
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )]
    =
    1
    2
    (1-
    1
    n+1
    )(12分)

    对于任意n∈N．Tn+1-Tn=
    1
    2
    (1-
    1
    n+2
    )-
    1
    2
    (1-
    1
    n+1
    )=
    1
    2
    (
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    )＞0    ．
    ∴Tn=
    1
    2
    (1-
    1
    n+1
    )    是关于n的递增函数．（13分）
    ∴要使要使Tn＞
    m
    32
    对任意n∈N总成立．只要T1＞
    m
    32
    ，即
    1
    4
    ＞
    m
    32
    ．
    ∴m＜8，又m∈N．
    因此存在整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞
    m
    32
    ，且m的最大值为7．（15分）
    点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键，属于中档题．
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    4x
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    1
    11
    )+f(
    2
    11
    )+…+f(
    10
    11
    )    的值为
    5
    5
    ．

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    90°
    90°
    ．

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