Question

已知函数（），且.
（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；
（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ），
当时，的极大值为
（Ⅱ）在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.理由略

（Ⅰ）的定义域为，
，，.          ……………2分
代入，得.
当时，，由，得，
又，，即在上单调递增；
当时，，由，得，……………4分
又，，即在上单调递减.
在上单调递增，在上单调递减.                  
所以，当时，的极大值为  ………………6分
（Ⅱ）在函数的图象上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.
假设存在两点，，不妨设，则
，，

，
在函数图象处的切线斜率
，
由
化简得：，.
令，则，上式化为：，即，
若令，
，
由，，在在上单调递增，.
这表明在内不存在，使得=2.
综上所述，在函数上不存在两点、使得它存在“中值伴随切线”.…………13分