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    已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.
    (1)若AB＝，求k的值；
    (2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.
    （1）k＝±1.（2）见解析
    (1)解：由题意知＝，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，
    ∴椭圆的方程为＋y2＝1.由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.
    Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，
    设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
    ∴AB＝·|x1－x2|＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.
    (2)证明：∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
    ∴＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的由顶点为A，右焦点为F，直线与x轴交于点B且与直线交于点C，点O为坐标原点，,过点F的直线与椭圆交于不同的两点M,N.

    （1）求椭圆的方程；
    （2）求的面积的最大值.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设A1、A2与B分别是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2＋y2＝1相切．
    (1)求证：＝1；
    (2)P是椭圆E上异于A1、A2的一点，若直线PA1、PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
    (3)直线l与椭圆E交于M、N两点，且·＝0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．

    (1)求证：A、C、T三点共线；
    (2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，正方形ABCD内接于椭圆＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．
     
    (1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.
    ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
    ②求椭圆的标准方程；
    (2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2－k是定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知是椭圆,上除顶点外的一点，是椭圆的左焦点，若 则点到该椭圆左焦点的距离为（   ）
    A．B．C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
    (1)求椭圆C的方程；
    (2)当△AMN的面积为时，求k的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线D的顶点是椭圆C：＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
    (1)求抛物线D的方程；
    (2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．
    ①若直线l的斜率为1，求MN的长；
    ②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知直线2x＋y－4＝0过椭圆E：的右焦点F2，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，F1是椭圆E的左焦点，且｜MN｜＝｜MF1｜，则椭圆E的方程为   .

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