Question

如图，正方形ABCD内接于椭圆＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．
 
(1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e²－k是定值．

Answer 1

（1）①见解析②＝1（2）见解析

(1)证明：①依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴＝(2，－1)，＝(－2，－4)，∴·＝0，∴AM⊥AE.
∵AE为Rt△ABE外接圆直径，∴直线AM与△ABE的外接圆相切．
②解：由解得椭圆标准方程为＝1.
(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入椭圆方程＝1，得即 
∴e²＝1－.∵k＝，∴2e²－k＝2为定值．