Question

已知圆C的参数方程为

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
（1）以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；
（2）已知直线l经过原点O，倾斜角α=

π

6

，设l与圆C相交于A、B两点，求O到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析：（1）先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．
（2 设A，B对应的参数为t₁和t₂，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到t²+3t-1=0，由|OA|•|OB|=|t₁t₂|求出点O到A、B两点的距离之积．

解答：解：（1）由

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

得

x- 3 =2cosθ y=2sinθ

，
两式平方后相加得（x-

3

）²+y²=4，…（4分）
∴曲线C是以（

3

，0）为圆心，半径等于2的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0．
即曲线C的极坐标方程是ρ2-2

3

ρCOSθ-1=0 …（10分）
（2）直线的参数方程是

x= 3 2 t y= 1 2 t

（t是参数）．
因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t₁和t₂，
圆化为直角坐标系的方程（x-

3

）²+y²=4，
以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到 t²+3t-1=0  ①，
因为₁和t₂是方程①的解，从而 t₁t₁=-2．
所以|OA||OB|=t₁t₂|=|-1|=1．

点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化，本题考查直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义是解题的关键．