Question

20．设函数f（x）=e^kx-1（k∈R）．
（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）+x²-kx，证明：当x∈（0，+∞）时，F（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求；
（Ⅱ）求出F'（x），令g（x）=ke^kx+2x-k，求得导数，判断单调性，即可得证．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=e^x，…．（1分）
将x=0分别代入f（x）和f′（x）得，f′（0）=1，f（0）=0…．（3分）
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．…．（4分）
（Ⅱ）证明：F'（x）=ke^kx+2x-k…．（6分）
令g（x）=ke^kx+2x-k，则g'（x）=k²e^kx+2…．（8分）
∵e^kx＞0，k²≥0，∴g'（x）=k²e^kx+2＞0…．（10分）
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0即F'（x）＞0，…．（11分）
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴F（x）＞F（0）=0…．（13分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．