如图.正方形ABCD边长为1.从某时刻起.将线段AB.BC.CD.DA分别绕点A.B.C.D顺时针旋转相同角度α(0＜α＜$\frac{π}{2}$).若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为$\frac{1}{2}$.则α=( )A．$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$B．$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{3}$C．$\frac{π}{6}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．

如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为$\frac{1}{2}$，则α=（　　）

A．

$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$

B．

$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{3}$

C．

$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{12}$

D．

$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$

分析由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα-sinα，得：（cosα-sinα）²=$\frac{1}{2}$，进而解得cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα+sinα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，联立解得cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．

解答解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，
边长为cosα-sinα，
由题意可得：（cosα-sinα）²=$\frac{1}{2}$，
可得：cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，2sinαcosα=$\frac{1}{2}$
又0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得：cosα+sinα=$\sqrt{1+2sinαcosα}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，②
所以：由①②可得：cosα=$\frac{\sqrt{6}±\sqrt{2}}{4}$．
故α=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．
故选：A．

点评本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数的定义在三角函数求值中的应用，考查了数形结合思想，由已知得到旋转后的四条线段所围成的封闭图形是边长为cosα-sinα的正方形是解题的关键，属于中档题．

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A．

$\frac{16}{3}$

B．

C．

$\frac{8}{3}$

D．

$\frac{4}{3}$

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A．

2$\sqrt{2}$

B．

2$\sqrt{5}$

C．

D．

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