Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由题意可知设直线AP的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程由韦达定理定理求得P点坐标，即可求得直线PB的斜率为-$\frac{1}{4k}$．将直线PB的方程与y=3联立，即可H点坐标，求得|GH|，利用基本不等式的性质即可求得线段GH的长度的最小值．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左顶点为A（-2，0），右顶点为B（2，0），
直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），设P（x₁，y₁），从而 G（$\frac{3}{k}$-2，3），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
由韦达定理可知：（-2）x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．则x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，从而y₁=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
即P（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），又B（2，0），
则直线PB的斜率为-$\frac{1}{4k}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4k}（x-2）}\\{y=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-12k+2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴H（-12k+2，3）．
故|GH|=|$\frac{3}{k}$-2+12k-2|=|$\frac{3}{k}$+12k-4|．
又k＞0，$\frac{3}{k}$+12k≥2$\sqrt{\frac{3}{k}×12k}$=12．
当且仅当$\frac{3}{k}$=12k，即k=$\frac{1}{2}$时等号成立．
∴当k=$\frac{1}{2}$时，线段GH的长度取最小值8．
故选：D．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．