Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值及此时自变量的集合；
（2）令，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
其最小正周期是T==π，
又当2x+=-+2kπ，
即x=kπ-（k∈Z）时，sin（2x+）取得最小值-1，
所以函数f（x）的最小值是1-，此时x的集合为{x|x=kπ-，k∈Z}．
（Ⅱ）=sin（2（x+）+）=sin（2x+）=cos2x
∵g（-x）=cos（-2x）=cos2x=g（x）．
∴函数g（x）是偶函数．
分析：（I）根据二倍角公式，和辅助角公式，将函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x化成正弦型函数，进而根据正弦型函数的性质判断出f（x）的最小正周期，然后求f（x）的最小值．
（II）根据函数图象的平移变换法则，求出函数g（x）的解析式，根据余弦型函数的性质，推出函数g（x）的奇偶性，根据奇偶性的定义，即可得到证明．
点评：本题考查的知识点是三角函数中恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，熟练掌握正弦型函数和余弦型函数的性质是解答本题的关键．