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    给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
    		a2+b2
    的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2（
    		2
    ，0），其短轴上的一个端点到F2距离为
    		3
    ．
    （1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
    （2）若过点P（0，m）（m＜0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
    		2
    ，求m的值；
    （3）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，当直线l1，l2都有斜率时，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．
    分析：（1）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；
    （2）利用点到直线的距离公式、d2+(
    1
    2
    l)2=r2    、及直线与椭圆相切的性质即可得出；
    （3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．
    解答：解：（1）由题意可知：c=
    		2
    ，a=
    		3
    ，∴b2=a2-c2=1．
    ∴椭圆方程为：
    x2
    3
    +y2=1    ，
    		a2+b2
    =2    ；
    ∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x2+y2=4．
    （2）设直线方程为：y=kx+m
    ∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
    		2
    ，
    ∴圆心到直线的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    ∵d2+(
    		2
    )2=r2    ，∴d2=2，∴m2=2（1+k2）．（*）
    又
    x2+3y2=3
    y=kx+m
    得（1+3k2）x2+6mkx+3m2-3=0，
    ∵直线l与椭圆相切，
    ∴△=1+3k2-m2=0，
    把（*）代入上式得m2=4，∵m＜0，解得m=-2．
    ∴m=-2．
    （3）设Q（x0，y0），直线y-y0=k（x-x0），
    由（2）可知1+3k2-m2=1+3k2-(y0-kx0)2=0，
    即(3-
    x
    2
    0
    )k2+2y0x0k+1-
    y
    2
    0
    =0    ，∴k1k2=
    1-
    y
    2
    0
    3-
    x
    2
    0
    ，
    又∵Q（x0，y0）在“伴椭圆”上，∴
    x
    2
    0
    +
    y
    2
    0
    =4    ，∴3-
    x
    2
    0
    =
    y
    2
    0
    -1    ．
    ∴k1k2=-1为定值．
    点评：熟练掌握椭圆标准方程及其a、b、c的关系、点到直线的距离公式、d2+(
    1
    2
    l)2=r2    、及直线与椭圆相切的性质、“伴椭圆”的定义是解题的关键．
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    给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
    		a2+b2
    的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
    		2
    ，0)、F2(
    		2
    ，0)    ，椭圆C上一动点M1满足|
    M1F1
    |+|
    M1F
    2    |=2
    		3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
    （Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
    		2
    ．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是
    		a2+b2
    的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为
    x2
    3
    +y2=1．
    （Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
    （Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
    AB
    •
    AD
    的取值范围．

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    （2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，称圆心在原点O、半径是
    		a2+b2
    的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
    		2
    ，0)    ，其短轴的一个端点到点F的距离为
    		3
    ．
    （1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
    （2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
    AB
    •
    AD
    的取值范围；
    （3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．

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    x2
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    +
    y2
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    		a2+b2
    的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2(
    		2
    ，0)    ，其短轴上的一个端点到F2距离为
    		3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
    （Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
    		2
    ，求m的值；
    （Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．

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    		2
    ，0    ），其短轴上的一个端点到F2距离为
    		3
    ．
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    		2
    ，求m的值．

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