Question

2．已知函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1
（1）求f（0）
（2）求证：f（x）在R上为增函数
（3）若f（4）=7，解不等式f（2x+1）＜4．

Answer 1

分析 根据函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1
（1）x=y=0，可得f（0）
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，将已知变形可得f（x+y）-f（x）=f（y）-1，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＜0，进而可得f（x）在R上为增函数
（3）令x=y=2，可得f（2）=4，则不等式f（2x+1）＜4可化为：f（2x+1）＜f（2），结合（2）中结论，可得答案．

解答 解：（1）∵对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，
∴f（0）=1，
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
∵当x＜0时，f（x）＜1，故f（x₁-x₂）＜1，
则∵对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴f（x+y）-f（x）=f（y）-1，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（3）∵f（4）=7，
令x=y=2，则f（4）=f（2）+f（2）-1=7，
解得：f（2）=4，
则不等式f（2x+1）＜4可化为：f（2x+1）＜f（2），
由（2）得：2x+1＜2，
解得：x∈（-∞，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查的知识点是抽象函数的应用，根据已知令x，y等于适合的值，进而“凑”出要解答或证明的结论，是解答的关键．