Question

7．在各项均为正数的数列{a_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）求其通项公式．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）计算出数列{a_n}前几项的值，并猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍），
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），即1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
整理得：${{a}_{2}}^{2}$+2a₂-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{2}-1$或a₂=$-\sqrt{2}-1$（舍），
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），即1+$\sqrt{2}-1$+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），
整理得：${{a}_{3}}^{2}$+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$或a₂=$-\sqrt{3}-\sqrt{2}$（舍），
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，
则a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
整理得：${{a}_{k+1}}^{2}$+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$（舍），
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知数列{a_n}的通项公式a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．