Question

19．设数列{a_n}的前n项和S=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n，代入S_n=2a_n-a₁计算可知a_n+1=2a_n，通过a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可求出首项，进而计算可得结论．

解答 解：∵S_n=2a_n-a₁，
∴a₂=S₂-S₁=2a₂-a₁-a₁，
整理得：a₂=2a₁，
同理a₃=S₃-S₂=2a₃-a₁-2a₂+a₁，
整理得：a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（2a₁+1）=a₁+4a₁，
解得：a₁=2，
又∵a_n+1=S_n+1-S_n
=（2a_n+1-a₁）-（2a_n-a₁）
=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴${a}_{n}=2•{2}^{n-1}$=2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．