Question

9．已知二次函数f（x）=x²-2tx+2t+1，x∈[-1，2]
（1）求函数f（x）的最小值g（t）；
（2）若f（x）≥-1恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分析函数f（x）=x²-2tx+2t+1的图象和性质，分类讨论区间[-1，2]与对称轴的关系，可得函数f（x）的最小值g（t）；
（2）若f（x）≥-1恒成立，则函数的最小值≥-1，由此构造不等式，可得t的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=x²-2tx+2t+1的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，
当t＞2时，函数f（x）=x²-2tx+2t+1在区间[-1，2]上为减函数，
此时当x=2时，函数f（x）的最小值g（t）=-2t+5；
当-1≤t≤2时，函数f（x）=x²-2tx+2t+1在区间[-1，t]上为减函数，在[t，2]上为增函数，
此时当x=t时，函数f（x）的最小值g（t）=-t²+2t+1；
当t＜-1时，函数f（x）=x²-2tx+2t+1在区间[-1，2]上为增函数，
此时当x=-1时，函数f（x）的最小值g（t）=4t+2；
综上所述：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}4t+2，t＜-1\\-{t}^{2}+2t+1，-1≤t≤2\\-2t+5，t＞2\end{array}\right.$
（2）∵二次函数f（x）=x²-2tx+2t+1的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，
当x=t时，函数f（x）的最小值g（t）=-t²+2t+1；
若f（x）≥-1恒成立，则-t²+2t+1≥-1；
解得：t∈[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]，
即t的取值范围为[1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．