Question

18．设a+b=2，b＞0，当$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$取得最小值时，a=-2．

Answer 1

分析 由题意得$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2）；从而构造函数f（a）=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），从而作函数的图象辅助，当a＜0时，f（a）=-$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{a-2}$，f′（a）=$\frac{1}{2{a}^{2}}$-$\frac{2}{（a-2）^{2}}$=$\frac{-（3a-2）（a+2）}{2{a}^{2}（a-2）^{2}}$，从而确定函数的单调性及最值；同理确定当0＜a＜2时的单调性及最值，从而解得．

解答 解：∵a+b=2，b＞0，
∴$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2）；
设f（a）=$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），
作此函数的图象，如右图所示；
利用导数研究其单调性得，
当a＜0时，f（a）=-$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{a-2}$，
f′（a）=$\frac{1}{2{a}^{2}}$-$\frac{2}{（a-2）^{2}}$=$\frac{-（3a-2）（a+2）}{2{a}^{2}（a-2）^{2}}$，
当a＜-2时，f′（a）＜0，当-2＜a＜0时，f′（a）＞0，
故函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数，
∴当a=-2时，$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$取得最小值$\frac{3}{4}$；
同理，当0＜a＜2时，得到当a=$\frac{3}{4}$时，
$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$取得最小值$\frac{5}{4}$；．
综合，则当a=-2时，$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$取得最小值；
故答案为：-2．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．