Question

6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，且x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=log₂（2x+1），则f（-2015）+f（2013）=-2014．

Answer 1

分析 根据题意得出f（x$+\frac{3}{2}$）=$\frac{2014}{f（x）}$，即f（x+3）=$\frac{2014}{f（x+\frac{3}{2}）}$=$\frac{2014}{\frac{2014}{f（x）}}$=f（x），利用周期性定义可以得出f（-2015）+f（2013）=f（2013）-f（2015）=f（0）-f（2），
求解即可得出答案．

解答 解：∵x＞0时，f（x+$\frac{3}{2}$）f（x）=2014，
∴f（x$+\frac{3}{2}$）=$\frac{2014}{f（x）}$
即f（x+3）=$\frac{2014}{f（x+\frac{3}{2}）}$=$\frac{2014}{\frac{2014}{f（x）}}$=f（x），
周期性概念得出f（2015）=f（2）
f（2013）=f（0）
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0，
∵x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=log₂（2x+1），
∴f（2）=$\frac{2014}{f（\frac{1}{2}）}$=$\frac{2014}{lo{g}_{2}2}$=2014，
∴f（-2015）+f（2013）=f（2013）-f（2015）=f（0）-f（2）=-2014
故答案为：-2014．

点评 本题综合考查了函数的性质，学生的阅读分析问题的能力，属于难度较大的题目，关键是理解函数式子．