Question

12．在三棱锥P-ABC中，F，M分别是棱PB，AC的中点，E为PC上一动点．
（1）若AF∥平面MEB，试确定点E的位置，并证明你的结论．
（2）在满足（1）的条件下，求三棱锥C-MEB与三棱锥C-PAB的体积比．

Answer 1

分析 （1）当E为PC上靠近C的三等分点时，取PE中点G，则E为CG中点，连结FG、AG，推导出平面AGF∥平面MEB，从而得到AF∥平面MEB．
（2）由M是PC中点，得$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，由E为PC上靠近C的三等分点，设点P到平面ABC的距离为h，则E到平面BMC的距离为$\frac{1}{3}h$，由此能求出三棱锥C-MEB与三棱锥C-PAB的体积比．

解答 解：（1）当E为PC上靠近C的三等分点时，AF∥平面MEB．
证明：取PE中点G，则E为CG中点，
连结FG、AG，
∵F，M分别是棱PB，AC的中点，G为PE中点，E为CG中点，
∴GF∥BE，ME∥AG，
∵AG∩FG=G，ME∩BE=E，
AG、FG?平面AGF，ME、BE?平面MEB，
∴平面AGF∥平面MEB，
∵AF?平面AGF，∴AF∥平面MEB．
（2）∵M是PC中点，∴$S△BMC=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∵E为PC上靠近C的三等分点，
设点P到平面ABC的距离为h，
∴E到平面BMC的距离为$\frac{1}{3}h$，
∴三棱锥C-MEB与三棱锥C-PAB的体积比：
$\frac{{V}_{C-MEB}}{{V}_{C-PAB}}$=$\frac{{V}_{E-BMC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{S}_{△BMC}×\frac{1}{3}h}{\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h}$=$\frac{1}{6}$．
∴三棱锥C-MEB与三棱锥C-PAB的体积比为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定，考查两个三棱锥的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养产．