Question

1．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（2）=1，f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）和f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）如果f（3^x）+f（3^x-2）＜3，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1解出f（1），根据条件推出f（xy）=f（x）+f（y），计算f（$\frac{1}{2}$）=-1，再计算f（$\frac{1}{4}$）；
（2）由函数性质得f（8）=3，不等式转化为f[3^x（3^x-2）]＜f（8），利用函数单调性得出不等式组解出x．

解答 解：（1）令x=y=1，得f（1）=0，
∵f（xy）=f（$\frac{x}{\frac{1}{y}}$）=f（x）-f（$\frac{1}{y}$）=f（x）-[f（1）-f（y）]=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$），即1+f（$\frac{1}{2}$）=0，∴f（$\frac{1}{2}$）=-1．
∴f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=-2．
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（8）=3f（2）=3，f（3^x）+f（3^x-2）=f[3^x（3^x-2）]，
∴f[3^x（3^x-2）]＜f（8），
又y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（{3}^{x}-2）＞8}\\{{3}^{x}-2＞0}\\{{3}^{x}＞0}\end{array}\right.$
解得：x＞log₃4．

点评 本题考查了函数单调性的应用，属于中档题．