Question

15．已知命题p：x∈R，f（x）=x²-2x+3＞m恒成立；命题q：g（x）=log_（5m-2）x在（0，+∞）为单调增函数，当p，q有且仅有一个是真命题时，求m的范围．

Answer 1

分析 求出关于命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：x∈R，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2＞m恒成立，
若P为真，则m＜2；
关于命题q：g（x）=log_（5m-2）x在（0，+∞）为单调增函数，
5m-2＞1，解得：m＞$\frac{3}{5}$，
若q为真，则m＞$\frac{3}{5}$，；
（ⅰ）P为真且q为假，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{m≤\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解得：m≤$\frac{3}{5}$；
（ⅱ）P为假且q为真，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m＞\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，解得：m≥2，
综合得m的范围是$（{-∞，\frac{3}{5}}]∪[{2，+∞}）$．

点评 本题考查二次函数以及对数函数的性质，考查充分必要条件，是一道中档题．