Question

7．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲乙中间必须间隔两个同学．

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先分析甲的情况，易得甲有4种情况，再将剩余的5个人进行全排列，安排在其余5个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，再把甲、乙进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A₆⁴种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，问题得以解决．
（5）根据题意，首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，再让其他4人在中间位置作全排列，根据分步计数原理，由分步计数原理计算可得答案，
（6）根据题意，先排甲乙有A₂²种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A₄²种．把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A₃³种．根据分步计数原理可得答案，

解答 解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A₄¹种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A₅⁵种站法，根据分步计数原理，共有站A₄¹A₅⁵=480（种）．
方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有A₅²种站法，然后中间4人有A₄⁴种站法，根据分步计数原理，共有站法A₅²A₄⁴=480（种）．
方法三：若对甲没有限制条件共有A₆⁶种法，甲在两端共有2A₅⁵种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A₆⁶-2A₅⁵=480（种）．
（2）先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A₅⁵种站法，再把甲、乙进行全排列，有A₂²种站法，根椐分步计数原理，共有A₅⁵A₂²=240（种）站法．
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A₄⁴种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A₅²种，故共有站法为A₄⁴A₅²=480（种）．
（4）先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A₆⁴种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A₆⁴=360种．
（5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A₂²种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A₄⁴种，根据分步计数原理，共有A₂²A₄⁴=48（种）．
方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A₂²种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A₄⁴种站法，由分步计数原理共有A₂²A₄⁴=48种站法，
（6）先把甲乙排好，有A₂²种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有A₄²种．
把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有A₃³种．
根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 A₂²A₄²A₃³=144（种）

点评 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目