Question

17．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且AF+BF=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出抛物线方程，求得焦点和准线方程，由抛物线的定义，知|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8．由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，知|QA|=|QB|，运用两点的距离公式和点满足抛物线方程，解方程可得p=4，由此能求出抛物线的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），可得准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8，
即x₁+x₂=8-p．
由点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
可得|QA|=|QB|即（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
则（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
由x₁≠x₂，可得x₁+x₂-12+2p=0，
即x₁+x₂=12-2p=8-p，
解得p=4，
则抛物线的方程为y²=8x．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意运用定义合理地进行等价转化．