Question

9．已知圆O：x²+y²=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且$\frac{PA}{PB}$=k（k为常数）．
（1）求A，B的坐标及常数k的值；
（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x²+y²=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；
（2）由圆x²+y²=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由中点坐标公式可得M的坐标，代入圆的方程，化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设P（x，y），由|PA|=k|PB|，（k＞0且k≠1）
可得$\sqrt{（x-a）^{2}+（y-2）^{2}}$=k$\sqrt{（x-m）^{2}+（y-1）^{2}}$，
平方可得，（k²-1）（x²+y²）+（2a-2k²m）x+（4-2k²）y+k²（m²+1）-a²-4=0，
由P的轨迹方程为x²+y²=4，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-2{k}^{2}m=0}\\{4-2{k}^{2}=0}\\{{k}^{2}（{m}^{2}+1）-{a}^{2}-4=4-4{k}^{2}}\end{array}\right.$，解得k=$\sqrt{2}$，m=1，a=2，
即有A（2，2），B（1，1），k=$\sqrt{2}$；
（2）由圆x²+y²=1的参数方程，可设N（cosθ，sinθ），
由M点恰好是线段NE的中点，可得M（$\frac{2+cosθ}{2}$，$\frac{t+sinθ}{2}$），
代入圆方程，可得（$\frac{2+cosθ}{2}$）²+（$\frac{t+sinθ}{2}$）²=1，
化简可得4cosθ+2tsinθ=-1-t²，
由辅助角公式可得$\sqrt{16+4{t}^{2}}$sin（θ+φ）=-1-t²，
由|sin（θ+φ）|≤1，可得|-1-t²|≤$\sqrt{16+4{t}^{2}}$，
即为t⁴-2t²-15≤0，即有-3≤t²≤5，
解得-$\sqrt{5}$≤t≤$\sqrt{5}$．
则实数t的取值范围是[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查直线和圆方程的求法和运用，注意运用圆的参数方程，以及中点坐标公式和正弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．