Question

根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

Answer 1

证明见解析．

解析:

本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．

证法一：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂且x₁<x₂                            ——1分

则f (x₂) －f (x₁) == (x₁－x₂) ()                     ——3分

∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0．                                            ——4分

当x₁x₂<0时，有= (x₁+x₂) ²－x₁x₂>0；                      ——6分

当x₁x₂≥0时，有>0；

∴ f (x₂)－f (x₁)= (x₁－x₂)()<0．                          ——8分

即  f (x₂) < f (x₁)，所以，函数f(x)=－x₃+1在(－∞，+∞)上是减函数．      ——10分

证法二：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁<x₂，                       ——1分

则 f (x₂)－f (x₁)=x－x= (x₁－x₂) ()．                   ——3分

∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0．                                           ——4分

∵ x₁，x₂不同时为零，∴ x＋x>0．

又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x₁x₂|≥－x₁x_2。 ∴ >0，

   ∴  f (x₂)－f (x₁) = (x₁－x₂) ()<0．                     ——8分

即 f (x₂) < f (x₁)．所以，函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．       ——10分