Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a²-c²=ac-bc．
（1）求∠A的大小；
（2）求

bsinB

c

的值；
（3）若实数λ使得关于B，C的不等式λ+

3

λsinC-sinB≥0恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得b²=ac，代入已知的等式化简可得a²=b²+c²-bc，再根据cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
可得A的值．
（2）由正弦定理可得

bsinB

c

=

sin2B

sinC

=

sinAsinC

sinC

=sinA，利用（1）的结论可得结果．
（3）由b²=ac可得a，b，c单调递增或递减，且A=

π

3

，可得△ABC为等边三角形，再由条件可得λ≥

sinB

1+ 3 sinC

，由此求得λ的范围．

解答：解：（1）由题意可得b²=ac，∴a²-c²=ac-bc=b²-bc，即a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．…（3分）
（2）由正弦定理可得

bsinB

c

=

sin2B

sinC

=

sinAsinC

sinC

=sinA=

3

2

．…（6分）
（3）∵a，b，c单调递增或递减，且A=

π

3

，∴a=b=c，∴A=B=C=

π

3

，…（10分）
∴λ≥

sinB

1+ 3 sinC

=

sin π 3

1+ 3 sin π 3

=

3

5

，即 λ≥

3

5

．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．