Question

【题目】已知向量 =（ sin ，1）， =（cos ，cos2 ），f（x）= ．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移 个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）﹣k≤0在区间[0， ]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，f（x）= = sin cos +cos2

= sin + cos + = ，

由 得，

，

∴函数f（x）的单调递增区间是

（2）解：将f（x）的图象向右平移 个单位长度得到g（x）= 的图象，

当 时， ，∴ ，

∴ ，

∵g（x）﹣k≤0在区间[0， ]上恒成立，

∴k≥g（x）max= ，

∴实数k的取值范围是[ ，+∞）．

【解析】（1）利用向量的数量积运算、二倍角公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出f（x）单调递增区间；（2）由三角函数图象的平移法则求出g（x），由由x的范围和正弦函数的性质求出g（x）的值域，由条件和恒成立问题转化为求最值，从而求出实数k的取值范围．