【题目】已知函数 (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1)求 的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
【答案】
(1)解: =
=
.
∵f(x)为偶函数,
∴对x∈R,f(﹣x)=f(x)恒成立,
∴ .
即 ,
整理得 .
∵ω>0,且x∈R,所以 .
又∵0<φ<π,故 .
∴ .
由题意得 ,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
∴ .
(2)解:将f(x)的图象向右平移 个单位后,得到
的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到
的图象.
∴ .
当 (k∈Z),
即 (k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
【解析】(1)先用两角和公式对函数f(x)的表达式化简得f(x)=2sin(ωx+φ﹣ ),利用偶函数的性质即f(x)=f(﹣x)求得ω,进而求出f(x)的表达式,把x=
代入即可.(2)根据三角函数图象的变化可得函数g(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得函数g(x)的单调区间.
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识点,需要掌握两角和与差的正弦公式:;图象上所有点向左(右)平移
个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象才能正确解答此题.
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【题目】设直线与抛物线
相交于不同两点
、
,与圆
相切于点
,且
为线段
中点.
(1) 若是正三角形(
是坐标原点),求此三角形的边长;
(2) 若,求直线
的方程;
(3) 试对进行讨论,请你写出符合条件的直线
的条数(直接写出结论).
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【题目】已知向量 =(
sin
,1),
=(cos
,cos2
),f(x)=
.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,若g(x)﹣k≤0在区间[0,
]上恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】己知函数 (其中e为自然对数的底数),
.
(I)求函数的单调区间;
(II)设,.已知直线
是曲线
的切线,且函数
上是增函数.
(i)求实数的值;
(ii)求实数c的取值范围.
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【题目】已知函数,
,且直线
是函数
的一条切线.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)对任意的,都存在
,使得
,求
的取值范围;
(Ⅲ)已知方程有两个根
(
),若
,求证:
.
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【题目】某电影院共有1000个座位,票价不分等次,根据影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全售出;当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出,为了获得更好的收益,需给影院定一个合适的票价,需符合的基本条件是:①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出,用x(元)表示每张票价,用y(元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入)问:
(1)把y表示为x的函数,并求其定义域;
(2)试问在符合基本条件的前提下,票价定为多少时,放映一场的净收人最多?
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【题目】如图,已知直线关于直线
对称的直线为
,直线
与椭圆
分别交于点
、
和
、
,记直线
的斜率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当变化时,试问直线
是否恒过定点? 若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
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