Question

【题目】已知函数， ，且直线是函数的一条切线．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（Ⅲ）已知方程有两个根（），若，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）设切点，由题意得 解得

（Ⅱ）由题意可得f(x)的值域是g(x)的值域的子集，可得，

解得．

（Ⅲ）依题意得 两式相减得， 进而方程可转化为则，令， ，证得，所以，即．

试题解析：（Ⅰ）设直线与相切于点，

，

依题意得 解得

所以，经检验： 符合题意

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，

当时， 所以在上单调递减，

所以当时， ， ，

，

当时， ，所以在上单调递增，

所以当时， ， ，

依题意得，

所以 解得．

（Ⅲ）依题意得

两式相减得，

所以，

方程可转化为

，

即，

令，则，则，

令， ，

因为，

所以在上单调递增，所以，

所以，即．

点晴：本题主要考查函数导数与单调性，函数导数研究图象与性质等知识.首先画出两个函数的图象，由此来理解题意“对， ，使得”，根据图象，将问题等价变形为对于相同的函数值，两个函数对应的自变量的距离的最小值来求.构造函数后利用导数研究函数的单调性，由此求得最值.