Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

设函数，.

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数；

（Ⅲ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为2.（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ） 时， ，利用 判定 的增减性并求出的极小值；（Ⅱ）由函数 ，令 ，求出 ；设 ，求出 的值域，讨论的取值，对应 的零点情况；（Ⅲ）由 恒成立，等价于 恒成立；即 在 上单调递减， ，求出的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由题设，当时，，易得函数的定义域为，

.∴当时，，在上单调递减；

∴当时，，在上单调递增；所以当时，取得极小值，所以的极小值为2.

（Ⅱ）函数，令，得.

设，则.

∴当时，，在（0,1）上单调递增；

∴当时，，在上单调递减；

所以的最大值为，又，可知：

①当时，函数没有零点；

②当时，函数有且仅有1个零点；

③当时，函数有2个零点；

④当时，函数有且只有1个零点.

综上所述：

当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点；当时，函数有2个零点.

（Ⅲ）对任意，恒成立，等价于恒成立. .

设，∴等价于在上单调递减.

∴在上恒成立，

∴恒成立，

∴（对，仅在时成立）.

∴的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（Ⅲ）是利用方法 ① 求得 的范围.