Question

【题目】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，

（1）求圆C关于直线对称的圆的方程；

（2）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，且以AB为直径的圆经过点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）关键求圆心关于直线的对称点，根据垂直平分条件列方程组，解方程组可得圆心坐标，即得圆方程（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋b，．以AB为直径的圆过， ，利用向量数量积以及直线方程可得，再联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入解得,即得直线l的方程

试题解析：（1）圆C的方程可化为　，

设圆心C关于m对称的点为，则解得

所以圆C关于直线对称的圆的方程为

（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x＋b，则

消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.

由题知，Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)>0，

即b2＋6b－9<0 ①

设此方程两根为x1，x2，则A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.

∵以AB为直径的圆过，

又

解得

经检验均满足①式

∴存在这样的直线为