Question

【题目】已知抛物线y=﹣ +bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线的解析式为y=﹣ （x+4）（x﹣1），即y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：存在．

当x=0，y═﹣ x2﹣ x+2=2，则C（0，2），

∴OC=2，

∵A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，

当∠PCB=90°时，

∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为（﹣4，0）；

当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，

设直线AC的解析式为y=mx+n，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y= x+2，

∵BP∥AC，

∴直线BP的解析式为y= x+p，

把B（1，0）代入得 +p=0，解得p=﹣ ，

∴直线BP的解析式为y= x﹣ ，

解方程组 得 或 ，此时P点坐标为（﹣5，﹣3）；

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）

解：存在点E，设点E坐标为（m，0），F（n，﹣ n2﹣ n+2）

①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标（﹣7，0），

②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，

∴﹣ n2﹣ n+2=﹣2，解得n= ，得到F2（ ，﹣2），F3（ ，﹣2），

根据中点坐标公式得到： = 或 = ，

解得m= 或 ，

此时E2（ ，0），E3（ ，0），

③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4（﹣1，0），

综上所述满足条件的点E为（﹣7，0）或（﹣1，0）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）．

【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数、勾股定理、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是构建一次函数利用方程组解决点P坐标，学会分类讨论，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
（1）因为抛物线经过点A（﹣4，0），B（1，0），所以可以设抛物线为y=﹣ （x+4）（x﹣1），展开即可解决问题；
（2）先证明∠ACB=90°，点A就是所求的点P，求出直线AC解析式，再求出过点B平行AC的直线的解析式，利用方程组即可解决问题；
（3）分AC为平行四边形的边，AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题．