Question

【题目】已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（　　）
（1）MN⊥AB；
（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（1）连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正确；
（2）取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME为MN与AD所成角，
连结BN，由（1）知BM⊥MN，设正四面体棱长为1，则BM= ， BN= ， ∴MN= ，
ME=NE= ， ∴cos∠NME== ， ∴∠NME=45°，故（2）不正确；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正确；
（4）取BC早点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM= ， ∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
当N从D向C移动时，∠FMN先减小，后增大，故∠FMN＜90°，与MF⊥MN矛盾．
∴不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，故（4）正确．
故选：C．

【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．