Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知A₁在底面ABC内的射影是线段BC的中点，且A₁O=OC，BC⊥AA₁．
（1）证明：四边形ABB₁A₁是菱形；
（2）若A₁O=OC=2，AO=1，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AO，证明BC⊥A₁O．结合BC⊥AA₁，推出BC⊥平面AA₁O，即可证明BC⊥AO，在Rt△AOA₁与Rt△AOC中，由勾股定理，证明AB=AC．得到AB=AA₁，然后证明四边形ABB₁A₁是菱形．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面BB₁C₁C的一个法向量，设直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为θ，利用向量的数量积求解即可．

解答 （1）证明：连接AO．

因为A₁在底面ABC内的射影是线段BC的中点O，所以BC⊥A₁O．…（1分）
又因为BC⊥AA₁，A₁O∩AA₁=A₁，所以BC⊥平面AA₁O．…（2分）
所以BC⊥AO．…（3分）
在Rt△AOA₁与Rt△AOC中，由勾股定理，得$A{A_1}=\sqrt{A{O^2}+{A_1}{O^2}}$，$AC=\sqrt{A{O^2}+O{C^2}}$，
因为A₁O=OC，所以AA₁=AC．…（4分）
又O是线段BC的中点，所以AB=AC．所以AB=AA₁．…（5分）
又因为四边形ABB₁A₁是平行四边形，
所以四边形ABB₁A₁是菱形．…（6分）
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

若A₁O=OC=2，AO=1，
则点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）．
则$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=\overrightarrow{AC}=（-1，-2，0）$，得点C₁（-1，-2，2）．
则$\overrightarrow{C{C_1}}=（-1，0，2），\overrightarrow{BC}=（0，-4，0），\overrightarrow{{A_1}C}=（0，-2，-2）$．…（8分）
设平面BB₁C₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CC{\;}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}（x，y，z）•（-1，0，2）=-x+2z=0\\（x，y，z）•（0，-4，0）=-4y=0\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}x=2z\\ y=0\end{array}\right.$取z=1，得平面BB₁C₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，0，1）；   …（10分）
设直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为θ，则$sinθ=\left|cos＜\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}＞\right|=\left|\frac{（2，0，1）•（0，-2，-2）}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}\right|=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
即直线A₁C与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想的应用，空间想象能力以及计算能力．